Vorlesung_31_20171214

Beispiel: $L_x=L_y=L_z=L$

$\Rightarrow$ Entartgung gibt Anzahl der Zustände mit gleichen Energien an

E_{n_x,n_y,n_z}=\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2} \right)\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}

$n_x$	$n_y$	$n_z$	$E/\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}$
1	1	1	3
2	1	1	6
1	2	1	6
1	1	2	6
1	2	2	9
2	1	2	9
2	2	1	9

3-fache Entartung der letzten beiden Eigenenergien

Beispiel:

(n_x,n_y,n_z)=(1,2,1),\\ L=1\,\text{nm}

Energie: ?

E_{1,2,1}=(1^2+2^2+1^2)\cdot \frac{\pi\cdot(1,055\cdot 10^{-34}\,\text{Js})^2}{2\cdot (9,11\cdot10^{-31}\,\text{kg})(10^{-9}\,\text{m})^2}=3,62\cdot 10^{-19}\,\text{J}=2,26\,\text{eV}

Wo ist Wahrscheinlichkeitsverteilung maximal?

\psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=A\cdot \sin\left(\frac{1\pi x}{10^{-9}\,\text{m}} \right)\cdot \sin\left(\frac{2\pi y}{10^{-9}\,\text{m}} \right)\cdot \sin\left(\frac{1\pi z}{10^{-9}\,\text{m}} \right)

maximal in y:

x=\frac{1}{2}L,\ z=\frac{1}{2}L,\ y=\frac{1}{4}L,\frac{3}{4}L\\ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{2} \right)L,\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{1}{2} \right)L

L_x=L_y=L_z=L\rightarrow L_z=0,9L

$\Rightarrow$ entartete Energiezustände werden aufgespalten!

$L_x=L_y=L_z=L$

E_{2,1,1}=E_{1,2,1}=E_{1,1,2}\\ (2^2+1^2+1^2)\frac{1}{L^2}=(1^2+2^2+1^2)\frac{1}{L^2}=(1^2+1^2+2^2)\frac{1}{L^2}

$L_x=L_y=L,\ L_z=0,9L$

E_{2,1,1}=E_{1,2,1}<E_{1,1,2}\\ \frac{2^2}{L^2}+\frac{1}{L^2}+\frac{1}{0,9^2L^2}=\frac{1}{L^2}+\frac{2^2}{L^2}+\frac{1}{0,9^2L^2}<\frac{1}{L^2}+\frac{1}{L^2}+\frac{2^2}{0,9^2L^2}

Jetzt wollen wir wissen wie Orbitale vom Wasserstoff aussehen.

bei: 656nm,486nm,434nm,410nm

Historisch: 1855 Schweizer Schullehrer: Johannes Balmer

empirisch:

\frac{1}{\lambda}=\underbrace{1,097\cdot 10^7\text{m}^{-1}}_{\text{Rydbergkonstante } R }\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}\right), n=3,4,...

1909 Ernest Rutherford

Rückstreueng lässt auf positiv geladene Kerne schließen

1913 Niels Bohr

$\Rightarrow$ Quantisierung

1911 - 1914 Franck-Hertz-Versuch

1925 Nobelpreis

Erklärung: Ab gewissen Energien erfolgt Anregung diskreter Energieniveaus

Herleitung:

E_n= -\underbrace{\frac{me^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}}_{=R}\frac{1}{n^2}\ (n=1,2,3,\dots)

$E_n$ erklärt Balmer-Serie

E_\text{Photon}=hf=\frac{hc}{\lambda}=E_\text{start}-E_\text{ende}=\frac{me^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\left(\frac{1}{n_\text{start}^2}-\frac{1}{n_\text{ende}^2} \right)

$R=\frac{me^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2 h c}=1,097\cdot 10^7 \frac{1}{\text{m}}$

E=-\frac{13,6\text{eV}}{n^2}\ \ n\in\N

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